2-3ساختارهای چند لایهایی سیلیکان – ژرمانیم………………………………………………………………………………………………………………….6
2-4چگالی حالات………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..10
2-5 طبش پذیری و حایل سازی………………………………………………………………………………………………………………………………………..10
2-6ترازهای مقید………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..13
2-7ساختار درون نواری………………………………………………………………………………………………………………………………………………………14
2-8جوابهایتقریبی برای تابع موج و انرژی : ……………………………………………………………………………………………………………………16
2-9اثرات بس ذرهای……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18
2-10گذارهای نوری درون نواری………………………………………………………………………………………………………………………………………..19
2-11مغناطش در مواد………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..20
فصل سوم بررسی نظری گاز الکترونی دو بعدی
3-1مقدمه …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..23
3-2هامیلتونی تک ذرات ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………24
3-3پتانسیل شیمیایی ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..25
3-4خواص ترمو دینامیکی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………27
فصل چهارم محاسبه خواص ترمودینامیکی گاز الکترونی دو بعدی.

4-1 مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..28
فصلپنجم: نتایج………………………………………………………………………………………………………………………………..39
منابع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….40
فهرست شکلها
شکل1-1:نمایشیازگازالکترونیدوبعدیدراینحالتالکترون¬هامقیدبهحرکت در یک صفحهاند………………………………………….2
شکل1-2:گازحفرهایدوبعدیدرفصلمشترکلایه¬یسیلسکانولایه¬یسیلیکانژرمانیمتشکیلمی-شود……………………………2
شکل1-3:ترانزیستوراثرمیدانی آلاییدهمدوله شده باکانال نوعpکه گازحفره ای دوبعدی درآن تشکیل میشود.لبه نوارظرفیت نیزنمایش داده شده است…………………………………………………………………………………………………………………………………….3
شکل(2-1الف)SiGe/Si/SiGeحاویگازالکترونی دوبعدی(2DEG)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..7
شکل(2-1ب)ساختارهای دورآلاییدهSi/SiGe/Siحاویگ ازحفره ای دوبعدی(2DHG)…………………………………………………….7
شکل(2-1ج) ساختاردریچه دارSi/SiGe/Siحاویگ ازحفره¬ای دوبعدی…………………………………………………………………………7
شکل2-2 : اثرات کرنش برشبکهبلوری〖Si〗_(1-x) 〖Ge〗_xکه برروی زیرلایهسیلیکان رشددادهشده است………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..8
شکل 2-3: گاف انرژی درساختارچندلایه ای آلاییده مدوله شده………………………………………………………………………………………..9
شکل 2-4: انرژی بستگی ازالکترون¬های ترازسیلیسیوم بابارالکتریکی مثبتeکه بافاصله¬یdازصفحه¬یsi-sio_2قرارداردانرژی برحسب واحدریدبرگ(Ry) ̅^*~43mevوفاصله برواحدشعاع بوهر(a^* ) ̅~2.2nmرسم شده است……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..14
شکل 2- 5 : مقادیرE0وz0رادرحضوروعدم حضورجملات تصویری رانشان می¬دهد……………………………………………………..18
شکل4-1 : تغییرات انرژی الکترون برحسب پهنای گازالکترونی دوبعدی………………………………………………………………………….13
شکل 4 – 2: تغییرات انرژی الکترون برحسب پهنای لایه درحضورمیدان مغناطیسی………………………………………………………14
شکل4 – 3: تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه دردماهای مختلف…………………………….16
شکل4 – 4: تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه ودردماهای مختلف…………………………..18
شکل 4 – 5 : تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه درحضورمیدان مغناطیسی بازائ دماهای مختلف…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….19
شکل4 – 6 : تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه ودردماهای مختلف درحضورمیدان مغناطیسی……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………20
شکل4 – 7: تغییرات مغناطش گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه دردما¬های مختلف………………………………………..23
شکل4 – 8 : تغییرا تمغناطش گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه دردما¬های مختلف درحضورمیدان مغناطیسی……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………24
شکل 4- 9: تغییرات پذیرفتاری مغناطیسی گازالکترونی دوبعدی درمیدانهای مغناطیسی متفاوت…………………………………25
فصل اول
پیش گفتار
1-1مقدمه
مطالعه گاز الکترونی دو بعدی وگاز حفرهای در ساختار نیم رسانا از اهمیت ویژهای برخوردار است زیرا اخیرأ نتایج حاصل از مطالعه اینگونه ساختارها در نوع جدید از ترانزیستورها که به ترانزیستورهای نوع (MODFET)1 مشهور میباشد به کار گرفته میشود و این ترانزیستورها عمدتأ در مدارهای مجتمع خصوصأ در تراشه های دیجیتال مورد استفاده قرار میگیرند.
اثر جوزفسون در ساختارهای ابررساناگاز الکترونی دو بعدیابر رسانا با حضور بر همکنش اسپین- مدار در لایهَ نرمال مطالعه شده است]1و2[ در مرجع 1 بر همکنش اسپین- مدار راشبا واثرشکافتگی زیمان اعمال شده وبا در نظر گرفتن مرزهای کاملآ شفاف، نشان داده شده است که اثر بر همکنش اسپین- مدار روی جریان جوزفسون تنها موقعی قابل مشاهده است که اثر شگافتکی زیمان هم وجود داشته باشد.در این صورت اثر جوزفسون به بر همکنش اسپین- مدار وابسته است.در مرجع 2 نیز یک اتصال ابر رسانا- گاز الکترونی دو بعدی ابررسانا با مرزهای کاملآ شفاف در نظر گرفته شده است.با اعمال بر همکنش اسپین- مدار راشبا وبرهمکنش الکترون- الکترون اثبات شده است که تنها زمانی که برهمکنش الکترون- الکترون در محاسبات وارد شود، جریان جوزفسون وابسته به برهمکنش اسپین- مدار راشبا خواهد بود.
1-2 گاز الکترونی دو بعدی
دو صفحه رسانای موازی به دو قطب یک باطری متصل میکنیم صفحه متصل به قطب منفی دارای چگالی بار منفی است. در صورتی که ضخامت صفحه به اندازه کافی کوچک باشد الکترونها تنها میتواننددر یک صفحه جابجا شوند و به عبارت دیگر در دو بعد تحرک داشته باشندو به این صورت میتوانیم الکترونهای دو بعدی را تجسم نماییم.
شکل(1) نمایی ازگازالکترونی دوبعدی را نشان میدهد. دراین حالت الکترون ها مقید به حرکت در یک صفحه اند.
شکل1-1: نمایشی از گاز الکترونی دو بعدی. دراین حالتالکترونها مقید به حرکت در یک صفحهاند.
1-3 گازحفره ای دوبعدی
در صورتی که ماده نیمرسانا آلاییده نوع p باشد در آن صورت جایگاه تراز فرمی در ناحیه ممنوع و بالاتر از مرکزگاف انرژی است. حال اگر یک نیمرسانا با گاف نواری کم بین دو ماده نیمرسانای آلایش یافته نوع p ساندویچ شوددر آن صورت تغییر تراز ظرفیت مطابق شکل زیر خواهد بود و تراز فرمی نوار ظرفیت را قطع می کند . در این حالت نیز یک چاه پتانسیل کوانتومی شکل می گیرد که حفره ها در آن تجمع نموده و گاز حفره ای دو بعدی تشکیل می گردد و همچنان که ذکر شد میزان تحرک پذیری این حفره ها در چاه بسیار زیاد است، اما کمتر از تحرک پذیری الکترونهای دو بعدی است در شکل ( 2 ) ساختار مدوله آلاییده شده که به روش برآراستی پرتو مولکولی فراهم شده
شکل1-2:گاز حفره ای دو بعدیدر فصل مشترک لایهی سیلسکان و لایهی سیلیکان ژرمانیم تشکیل میشود
.
است نشان داده شده و لبه نوار ظرفیت و رسانش نیز نمایش داده شده است . تراز فرمی نوار ظرفیت را قطع نموده و چاه کوانتومی مثلثی شکل ایجاد شده است که گاز حفره ای دو بعدی در این چاه کوانتومی تشکیل می گردد. از ساختار های چند لایه ای که به این روش تهیه شده اند برای مطالعه ترابرد حاملهای گاز دو بعدی در چاه کوانتومی استفاده می شود یکی از کاربرد های این گونه ساختارها ایجاد ترانزیستور های اثر میدانی آلاییده مدوله شده (MODFET ) میباشد . به ترانزیستورهایی که با استفاده از این تکنیک ساخته می شوند و در آنها گاز الکترونی دو بعدی در فصل مشترک دو لایه مجاور تشکیل می شود ترانزیستورهای با تحرک الکترونی زیاد (HEMT) 2نیز گفته می شود. در یک چنین ترانزیستوری لایه گاز الکترونی دو بعدی به عنوان کانال عبور جریان مورد استفاده قرار می گیرد ، جریان عبوری از ناحیه کانال با استفاده از پتانسیل اعمال شده به دریچه فلزی که باعث تغییر چگالی بار سطحی می گردد قابل کنترل است. با مثبت تر شدن پتانسیل گیت شاتکی ، به دلیل افزایش میزان خمیدگی نوار ،سد پتانسیل ایجاد شده در ناحیه پیوند افزایش یافته و چاه پتانسیل مثلثی شکل عمیق تر می گردد که این امر سبب افزایش چگالی بار سطحی حاملها در گاز الکترونی دو بعدی و در نتیجه باعث افزایش جریان کانال می گردد برعکس با کاهش پتانسیل مثبت گیت شاتکی) منفی تر شدن پتانسیل گیت) سد پتانسیل در ناحیه گاز دو بعدی کاهش یافته و چگالی سطحی حاملها تا جایی که چاه پتانسیل مثلثی حذف گردیده و جریان کانال قطع می گردد. همچنین در ترانزیستور های اثر میدانی دریچه دار با کانال نوع p می توان با تغییر پتانسیل دریچه چگالی گاز حفره ای دو بعدی ایجاد شده در کانال SiGe را کنترل نمود .در مدار های کلید و یا مدار های منطقی معمولاً با قطع و وصل ترانزیستور سروکار داریم . در این موارد باید به محدودیت سرعت قطع و وصل ترانزیستور توجه نموده و با توجه به فرکا نس قطع و وصل مورد نظر ، قطعه مناسب را انتخاب نمود . هر چه میزان تحرک پذیری حاملهای گازی(الکترون یا حفره) در لایه فعال بیشتر باشد ، سرعت ترانزیستور بیشتر و زمان سوییچینگ ترانزیستور نیز کوتاهتر خواهد بود. در این نوع ترانزیستور ها گاز حفره ای دو بعدی با تحرک بالا در لایه فعال ایجاد می شود . فرکانس قطع این ترانزیستور گیگا هرتز است .
.
شکل1-3: ترانزیستوراثرمیدانی آلاییده مدوله شده باکانال نوعpکه گازحفره ای دوبعدی درآن تشکیل میشود . لبه نوارظرفیتنیز نمایش داده شده است.
1-4 مروری بر کارهای انجام شده
خواص فیزیکی گاز الکترونی دو بعدی زمانی که در میدان مغناطیسی عمودبر صفحهی حرکت قرار میگیرند توسط پیتر]3[ و همکارانش بررسی شد. این گروه اثرات برهمکنش اسپین مدار راشبا و خواص فیزیکی گاز الکترونی دو بعدی مربوط به نیمه رساناهایی که تحت تاًثیر پتانسیل دورهای ضعیف یک بعدی قرار دارند (1DPP) را بررسی کردند. آنها نشان دادند که اثر اصلی پتانسیل ضعیف یک بعدی در این سیستمها گسترش ترازهای انرژی در نوار بوده و پهنای نوار به شدت میدان مغناطیسی اعمالی بستگی دارد]5-4 .[ اخیرا راموس [6] و همکارانش خواص ترمودینامیکی و ترابردی گاز الکترونی شبه دو بعدی (Q2DEG) تحت تاثیر میدان مغناطیسی مایل را بررسی کردهاند. در این تحقیق آنها اثر راشبا و زیمن را بر این سیستم مشاهده نمودند. آنها مشاهده کردند که میدان مغناطیسی سبب ترکیب حالتهای اسپینی و برهمکنش راشبا سبب ترکیب سطوح لاندائو می شود. توسط اثر زیمان این ترکیب شدنها باعث برداشتن تبهگنی شده و شکل جدیدی از رسانندگی هال تولید میکند. آنها همچنین مشاهده کردند که این اثر در دماهای بالاتر از 15 کلوین و نیز در میدانهای بالاتر از 8 تسلا ناپدید میشود. راموس و همکارانش دریافتند که اثر پتانسیل دورهای ضعیف یک بعدی سبب هموار شدن پله ها در اثر کوانتومی هال میشود [7]. تاثیر پهنای محدود گاز الکترونی دو بعدی بر روی پلاسمونهای طولی توسط بکس [ 8] و همکارانش در سال 1992 بررسی گردید. تاثیر پهنای گاز الکترونی دو بعدی بر خواص فیزیکی توسط راموس و همکارانش در سال 2011 تحقیق شده است.
در این پایان نامه قصد بررسی تاثیر همزمان میدان مغناطیس مایل، دما و پهنای گاز الکترونی دو بعدی بر خواص فیزیکی این سیستمها نظیر پتانسیل شیمیایی، تراوایی مغناطیسی، انرژی آزاد هلمهولتز و … را داریم. در این راستا این پایان نامه به فصلهای زیر دسته بندی میشود.
1-5 مرور اجمالی بر فصل های آینده
در فصل اول به معرفی گاز الکترونی دو بعدی پرداخته و تحقیقات انجام شده تاکنون بر روی آنها را بطور مختصر بیان نمودهایم.
فصل دوم با عنوان ویژگیهای گاز الکترونی دو بعدی به معرفی انواع گازهای الکترونی پرداخته و برخی از ویژگیهای مهم این سیستم ها را بیان میکنیم.
در فصل سوم نخست به معرفی سیستم مورد نظر در این پایان نامه پرداخته و سپس به بیان معادلات مورد نیاز و اثبات روابط میپردازیم. فصل چهارم تحت عنوان محاسبه خواص ترمودینامیکی گاز الکترونی دو بعدی آورده شده و نتایج حاصل از محاسبات و شکلهای مورد نیاز ترسیم و مورد بحث قرار گرفتهاند. در فصل پنجم بطور اجمالی نتایج و پیشنهادات ذکر شده است.
فصل دوم
ویژگیهای گاز الکترونی دو بعدی
2-1 مقدمه
گاز الکترونی فقط بخشی از یک دنیای بزرگ از سیستمهای دو بعدی دینامیکی است که اخیراً مورد توجه زیادی قرار گرفتهاند. با استفاده ازمفاهیم دینامیک دو بعدی میتوان برای این سیستمها یک حرکت آزاد در دو بعد و یک حرکت اجباری در بعد سوم در نظر گرفت ]16[.
2-2 ساختار چند لایهای آلاییده مدوله شده
ساختار مدوله آلاییده(یا دور الاییده شده)برای نخستین بار توسط Dingleو Stomerبر پایه ساختار چندلایهای (ناهمگن) GaAs/Ga_(1-x) Al_x Asجهت ایجاد گاز الکترونی دو بعدی با تحرک بسیار زیاد ابداع گردید]9[.این ساختار ناهمگون به (MOSFET)3شباهت دارد،ساختار ماسفت نیز نوعی ترانزیستور اثر میدانی است که در آن به ترتیب از لایههای نیم رسانا به عنوان کانال فعال، لایهّ نارسانا مانند اکسید سیلیکان به عنوان لایهّ جداگر و لایهّ فلزی ساخته میشود وبا تغییر ولتاژ لایهّ فلزی تحرک حاملها در نیم رسانا کنترل میشود. در ساختارهای مدوله الاییده به جای عایق،نیم رسانایی با شکاف انرژی بزرگ رشد داده میشود. در ترانزیستورهای اثر میدانی فلز-نیم رسانا که با استفاده ترکیبات V-III ساخته میشود باید رسانندگی کانال تا حد ممکن زیاد باشد.دراین ترازیستور ها برای افزایش رسانش کانال باید چگالی ناخالصیها در کانال افزایش یابد و این در حالی است که افزایش این چگالی اغلب سبب افزایش پراکندگی کولنی توسط یونهای ناخالصی و در نتیجه کاهش میزان تحرک پذیری حاملهای بار میشود.بنابر این باید با روشی غیر از روش آلایش معمولی (مستقیم)،میزان تراکم حاملها را در کانال افزایش داد. یکی از روشهای موجود برای انجام این کار، رشد یک لایه نازک آلایش نیافته (لایه بدون نا خالصی)با گاف انرژی کم به عنوان چاه کوانتومی که توسط لایههای آلاییده با گاف نواری بزرگتر احاطه شده است میباشد.به عبارت دیگر یک لایه نازک آلایش نیافته با گاف انرژی کمتر بین دو لایه آلاییده با گاف انرژی پهن تر قرار میگیرد.به این گونه ساختارها، مدوله آلاییده شده گفته میشود.گاز الکترونی یا حفرهای در فصل مشترک بسیار کامل و صاف دو لایه تشکیل میشود.بر خلاف ماسفت، در این سیستمها، چگالی حاملهای بار در حالت کلی ثابت است. در واقع به علت اختلافی که بین فاصله باندهای انرژی این دو نیم رسانای ناهمگون وجود دارد، ناخالصیهای موجود در قسمت 〖 Si〗_x G_(1-x ) نزدیک به محل اتصال، یونیزه میشوند و الکترونهای آنها به قسمتSi ،در نزدیکی فصل مشترک دو نیم رسانا منتقل میشوند. این انتقال بار سبب ایجاد میدانهای الکتریکی قوی و خمیدگی لبه باند هدایت در نزدیکی فصل مشترک میشود که در نتیجه آن گاز الکترونی دو بعدی تولید میشود]10[.
2-3 ساختارهای چند لایهایی سیلیکان – ژرمانیم
در شکل(2-الف) ساختار نامتجانسی نمایش داده شده است و گاز الکترونی دو بعدی در بالای لایه سیلیکان (که تحت کرنش کشش قراردارد) تشکیل شده است ]11[. نوار رسانش این ساختار در محل لایه سیلیکون به صورت یک چاه کوانتومی است والکترونهای ناخالصیهای نوع n در لایه مجاور به ترازهای انرژی پایین درون چاه کوانتومی منتقل میشوند و گاز الکترونی دو بعدی را تشکیل میدهند.شکل ( 2-ب) ساختار نامتجانس متفاوتی را نشان میدهد که گاز حفرهای دو بعدی در بالای چاه کوانتومی SiGe (لایه آلیاژی که تحت کرنش فشاری قرار دارد) تشکیل شده است ولی در ساختار دریچه دار شکل (2-ج) گاز حفرهای دو بعدی در پایین چاه کوانتومی تشکیل میگردد وبا اعمال ولتاژ مناسب به دریچه میتوان چگالی سطحی (n_s) آن را تغییر داد.
.

شکل(2-1الف)شکل(2-1ب)شکل(2-1ج)
SiGe/Si/SiGeساختارهای دور آلاییدهساختار دریچه دار
حاوی گاز الکترونی دو بعدیSi/SiGe/Siحاوی گاز حفره ای دوSi/SiGe/Si
(2DEG)بعدی(2DHG)حاوی گاز حفرهای دو بعدی
وجود لایه جداگر بین گاز الکترونی یا حفرهای و ناخالصیهای یونیده باعث کاهش پراکندگی کولنی بارهای آزاد در چاه کوانتومی میشود و انتطار میرود که تحرک پذیری حفرها و الکترونها در این ساختارها یکسان باشد. اما تجربه و مطالعات نظری نشان میدهد که تحرک پذیری گاز الکترونی دو بعدی در سیلیکون دهها برابر تحرک پذیری گاز الکترونی در SiGe است و به این منظور مطالعات نظری عوامل پراکندگی الکترونها و یا حفرهها در دمای کم انجام میشود]12[.
به دلیل متفاوت بودن ثابت شبکه لایه فعال چاه کوانتومی ایجاد شده نسبت به لایه های اطراف عدم تطابقی در شبکه بلوری وجود دارد که اگر ضخامت این لایه چاه کوانتومی از یک مقدار بحرانی بیشتر نباشد کرنش( نوعی فشردگی) ناشی از این عدم تطابق در چاه کوانتومی صورت می گیرد، این مسئله در شکل (2-2) نشان داده شده است ]5و6 [. مطابق این شکل لایه چاه کوانتومی متحمل یک اعوجاج از شکل بلوری خود می شود بطوری که برای منطبق شدن با شبکه اطراف فشرده می شود به دلیل همین فشردگی غیر طبیعی است که از آن به عنوان لایه با شکل دروغین یا سودومورفیک یاد می شود]6 . [
ثابت شبکه ژرمانیوم به اندازه 4.2٪ از ثابت شبکه سیلیکون بزرگتر است. بنابراین اگر یک لایه ژرمانیوم بر روی لایه سیلیکون قرار داده شود در آن صورت برای ایجاد بلوری یکسان مطابق شکل (2-3) بازای هر 24 اتم سیلیکون یک اتم در فصل مشترک نمی تواند با اتم ژرمانیوم پیوند برقرار نماید . برای تشکیل یک لایه ا ز جنس Si_(1-x) Ge_x بصورت سودومرفیک بر روی سیلیکون باید این لایه تحت کرنش (Strained ) رشد داده شود و در این صورت تقارن از مکعبی به تتراگونال تغییر می یابد[5] . از نظر بلور شناسی ساختار های تتراگونال دارای سه محور می باشند که بر یکدیگر عمودند . دو محور (محور های افقی (دارای طولهای یکسان هستند ، اما محور عمودی بلند تر یا کوتاهتر از دو محور دیگر می باشد
شکل2-2 :اثرات کرنش برشبکهبلوری〖Si〗_(1-x) 〖Ge〗_xکه رروی زیرلایهسیلیکان رشدداده شده است.
برای لایه های نازک بلوری Si_(1-x) Ge_x که بر روی سیلیکون حجیم رشد داده می شود یک ضخامت ماکزیممی وجود دارد که به ضخامت بحرانی مشهور است شکل (2-2). برای آنکه لایه های بیشتری با زیر لایه همسان شوند انرژی زیادتری برای کرنش مورد نیاز است و به نسبت کرنش اعمال شده نقایصی نیز در شبکه ب لوری ظاهر می شود . برای محاسبه ضخامت بحرانی چنین ساختارهای کرنش یافته مدلهای فراوانی پیشنهاد شده است . ثابت شده است که ایجاد لایه های کرنش یافته بالای ضخامت بحرانی با تعادل زیاد ، به روش برآراستی پرتو مولکولی امکان پذیر است .در این روش بخار حاصل از تبخیر عناصر و یا ترکیبات خاص مورد نظر روی بلور زیر لایه رشد داده میشود. اما ممکن است که بعداً این لایه ها در اثر فرایند های گرمایی تغییر شکل یافته و باعث ایجاد نقایص بلوری شوند .
شکل 2-3:گاف انرژی درساختارچندلایه ای آلاییده مدوله شده
درشکل(2-3) مثالی برای انواع ساختارهایی که می توان با به کار گیری این ر وش ساخت ، نشان داده شده است
لایه ای از سیلیکان بین ( x<1 ) Si_x Ge_(1-x) محصور شده است. وجه های مشترک ( که به پیوند گاه ناهمگون موسومند ، زیرا فصل مشترک بین دو نیم رسانای مختلف می باشند ) در مقیاس طول اتمی تیز اند و لایه های به نازکی چندین فاصله اتمی را می تو ان ساخت[2]. گاف انرژی (فاصله بین نوار رسانش و نوار ظرفیت که به منطقه ممنوعه نیز معروف است) در لایه های مختلف متفاوت است و به طور ناگهانی از یک لایه به لایه دیگر تغییر می کند که سبب خم شدن نوار انرژی می شود و این امر سبب ایجاد چاه کوانتومی در فصل مشترک دو لایه مختلف می گردد
در این بخش تعدادی ازخواص سیستمهای دو بعدی بیان میگردد
2-4 چگالی حالات
قبل از اینکه به جزیِیات گاز الکترونی دو بعدی پرداخته شودبرخی نتایج کلی و اساسی سیستمهای دو بعدی بررسی میگردد. چگالی حالتها در n بعد با تابع موج فضایی بصورت 〖2π)〗^(-n) ) رابطه دارد. چگالی حالات گاز الکترونی بر واحد سطح بر واحد انرژی توسط رابطه ی زیر بیان میگردد ]8[.
(2-1) 2πKdK/dE D(E)=2g_v 1/〖2π〗^2
در این رابطهg_v به عنوان ضریب تبهگنی و یا تعداد نوارهای انرژی مشابه معرفی میشود. ضریب2 نیز بخاطرتبهگنی اسپینی میباشد. با فرض طیفی پیوسته برای انرژی الکترون 〖E=E〗_0+(ћ^2 K^2)/2m ، چگالی حالتها بصورت زیر بدست میآید[ 8 ].
(2-2) D(E)={█((g_v m)/(ћ^2 π), &E>E_0@0 , &E<E_0 )┤
همچنان که دیده میشود چگالی حالات درE_(0 ) افزایش ناگهانی داشته (در غیاب بینظمی یا گستردگی ترازها ) و برای انرژیهای بالاتر ثابت میباشد.
هنگامی که فقط نوارهای با انرژی پایین اشغال شوند چگالی الکترونها بر واحد سطح در صفر مطلق،از رابطه زیر بدست میآید[ 8 ].
(2-3) N_s=(g_v m)/(ћ^2 π) (E_f-E_0 )
که در آن E_f انرژی تراز فرمی میباشد. سطح فرمی برای سیستمهای دو بعدی بصورتمنحنی میباشد که به آن خط فرمی نیز میگویند. برای ساده ترین حالت با جرم موثر همسانگرد این منحنی بشکل دایره درمیآید. شعاع این دایره با بردار موج فرمی از طریق رابطه √((N_s 2π)/g_v ) K_f= مشخص میشود.
برای سایر حالتها نخست میبایست وابستگی جرم موثر به انرژی و بردار موج مشخص گردد تا با استفاده از آنها بتوان چگالی حالت را محاسبه کرد. چگالی حالتها در اکثر موارد بصورت عددی محاسبه میگردد.
2-5 قطبش پذیری و حایل سازی
اکثر ویژگیهای گاز الکترونی که در این فصل بررسی میشود به میدان الکترومغناطیسی حساسیت شدید دارند.به عنوان ساده ترین مثال، میتوان به پاسخ یک سیستم به پتانسیل استاتیکی ضعیفی که دارای تغییرات آهسته میباشد اشاره کرد [ 8 ]. برای این منظور فرض میکنیم که گاز الکترونی، درصفحه دارای ضخامتصفر در Z=0 قرار دارد، و توسط دو محیطهمگن با ثابت دیالکتریک 〖 K〗_(ins )(Z<0) و K_sc(0<Z ) احاطه شده است.
در این محیط یک پتانسل الکترواستاتیک ϕ که توسط منبع خارجی تولید شده و با چگال بار الکتریکی ρ متناسب است نیز وجود دارد. این پتانسیل با رابطه پواسون K∇ ⃗ϕ)=-4πρ ).∇ ⃗داده میشود که در آن ρρ_ext+ρ_(ind )=ρ مجموع چگالی بار خارجی و چگالی بار داخلی القایی بوده و ثابت دیالکترک K میتواند به مکان بستگی داشته باشد.
در محدوده طول موجهای بلند چگالی بار القایی در نقطهr در صفحهz=0 فقط تابعی از پتانسیل موضعی دیده شده توسط الکترونها میباشد و در سه بعد توسط مدل فرمی تامسون بصورت زیر داده میشود[ 8 ].
(2-4) 〖 ρ〗_in=-e(N_s (∅ ̅ )-N_s (0) )δ(z)
که در آن ϕ(r,0) =∅ ̅ و ϕ پتانسیل الکترواستاتیک در نقطهی r بوده که بر روی z متوسط گیری شده است.
پتانسیل ∅ ̅ ترازهای انرژی را به اندازهی-e∅ ̅ تغییر میدهد، جدایی انرژی فرمی E_f از پایین نوار رسانش نیز برابر eϕ میباشد.
از آنجایی که فرض شد پتانسیل ضعیفی اعمال شود معادله(2-4) را میتوان بصورت خطی در نظر گرفت ]8[.
(2-5) -e^2 ∅ ̅(r) (dN_s)/dϕ δ(z)=ρ_ind (r)=-e∅ ̅(r) (dN_s)/dϕ δ
بر این اساس معادله (2-4)به شکل زیر تغییر مییابد.
(2-6) ∇ ⃗.(K∇ ⃗∅)-2K ̅(q_s ) ̅∅ ̅ (r)δ(Z)=-4πρ
که در آن q_s پارامتر حایل سازی بوده ودارای بعد عکس طول میباشد و بصورت
(2-7) q_s=(2πe^2)/K (dN_s)/(dE_f )
داد میشودکه در آنK= (k_sc+k_ins)/2 تعریف میگردد.
معادله متناظر(2-5) در سه بعد برای سیستمهای خطی و همگن بصورت زیر میباشد.
(2-8) ∇^2∅-Q_s^2 ∅= (4πρ_ext)/K
میباشد که در آن Q_s به عنوان پارامتر حایل سازی در سه بعد تعریف میشود. زمانیکه Ze را به عنوان بار نقطهای خارجی و در مبداء در نظر میگیریم جواب معادله (2-8) به شکل آشنای (پتانسیل حایل) زیر بدست میآید.
(2-9) ∅=Ze/KR e^(-Q_s R)
برای پیدا کردن پتانسیل کولمبی حایل در کاربردهای دو بعدی از بسط فوریه تابع بسل که با معادله
(2-10) ∅(r,z)=∫▒q A_q (z) j_0 (q_r)□(24&dq)
بیان میشود استفاده میگردد ]8[. که در آن j_0 تابع بسل با مرتبه صفر میباشدA_q (z) تابعی از zو q بوده و بیانگر میانگین توزیع الکترون تابع دلتا میباشد و با رابطه (A_q ) ̅=A_q (0) داده میشود.
ضریب بسط فوریه پتانسیل، (A_q ) ̅ در صغحه الکترون بصورت زیر بدست میآید ]8.[
(2-11) (A_q ) ̅=Ze/k ̅ e^qz/(q ̅+q)
برای مقادیر بزرگr، که (q_s ) ̅ r≥0 شکل مجانبی پتانسیل متوسط دیده شده توسط الکترون با رابطهی
(2-12) ∅ ̅(r)=Ze/(k ̅(〖q^2〗_s ) ̅r^3 ) (1+(q_s ) ̅z_0 )
داده میشود، با توجه به این معادله، پتانسیل با توان 3 مکان رابطه عکس دارد، پتانسیل برای مورد 3 بعدی بصورت نمایی افت میکند. قطبش القایی توسط یک موًلفه از میدان الکتریکی اعمالی
F ⃗(q,ω )=(F_0 ) ⃗exp⁡(iq.r-iω t) در صفحهی z=0، بصورت زیر بیان میشود
(2-13) Ρ ⃗(q,ω )=χ(q,ω ) F ⃗(q,ω )δ(z)
در عبارت فوق χ قطبش پذیری لایه بوده که به وسیلهی رابطه ارنریج و کرن (1959) بیان می شود[ 8 ].
(2-14) χ(q,ω )=e^2/(q^2 L^2 ) lim┬(α→0)⁡∑▒(f_0 (E_k )-f_0 (E_(k+q)))/(E_(k+q)-E_k-kω -ihα)
در رابطه فوق f_0 تابع احتمال فرمی دیراک، L^2 بهنجارش سطح و جمع بر روی تمام حالتهای بردار موج تک الکترونیk با انرژی E_k میباشد.
برای گاز الکترونی دو بعدی همسانگرد با تراز انرژی E_k=(ℏ^2 k^2)/2m وبردار موج فرمی (K_f ) ⃗، در دمای صفر مطلق معادله (2-14) محاسبه و با تعریف χ=χ_1+iχ_2 بصورت زیر بیان میگردد (استرن، 1978)
(2-15 الف) {χ_1=(2me^2 N_s)/(ℏ^2 k_f q^3 ){q/k_f -C_- 〖[(〖q/(2k_f )-(mk_f ωq)/ℏ)〗^2-1]〗^(1/2)- C_+ 〖[(〖Q/(2K_F )+(mk_f ωq)/ℏ)〗^2-1]〗^(1/2)
و (2-15 ب) χ_2=(2me^2 N_s)/(ℏ^2 k_f q^3 ){q/k_f -D_- 〖[(〖q/(2k_f )-(mk_f ωq)/ℏ)〗^2-1]〗^(1/2)- D_+ 〖[(〖q/(2K_F )+(mk_f ωq)/ℏ)〗^2-1]〗^(1/2)}
که در آن (2-15 ج) D_±=0 , |q/(2k_f )±(mk_f ωq)/ℏ|>1 و C_±=sgn(q/(2k_f )±(mk_f ωq)/ℏ)
و C_±=0 , 〖 D〗_±=1 , |q/(2k_f )±(mk_f ωq)/ℏ|<1
نتایج فوق کاملا کلی بوده و حالتهای خاص را میتوان از آن نتیجه گرفت. آسانترین حالت، طول موجهای بلند و حالت ایستا میباشد، در این وضعیت برای q~0 و ω=0
(2-16) ρ_ind=-iq ⃗.p ⃗=-q^2 χ(q) ∅ ̅(r)δ(z)=(N_s e^2)/E_F ∅ ̅(r)δ(z)
بدست میآید که در توافق با معادله (2-5) میباشد ]8[. در بیشتر موارد بجای δ(z) از g(z) استفاده میشود.
ثابت دی الکتریک برای سیستمهای فیزیکی مورد نظر ما توابعی غیر موضعی میباشد (داهلی و شام 1977:اج یولازو مارادیودین 1978 آ و 1978 ب)[8]. در صورتیکه لایه معکوس یک سطح باردار در صفحهی z=0 و احاطه شده در محیطی همگن، با ثابت دی الکتریک k باشد میتوان به شکل سادهتری بیان کرد.
در این حالت ثابت دی الکتریکی برای برانگیختی طولی در صفحه الکترونها بصورت زیر تعریف میگردد ]8[.
(2-17) k(q,ω)=k+2πβχ(q,ω)
که β^2=q^2-k ω^2/c^2 . نتایج برای میدانهای استاتیکی بصورت زیر در میآید.
(2-18) k(q,0)=k(1+q_s/q) ,q≤2k_F
=k[(1+q_s/q){1-[〖1-[[〖(2k_F)/Q]〗^2 ]〗^(1/2) } ] ] ,q>2k_(F )
برای مقادیر کوچک q ثابت دی الکتریک فوق با روابط بدست آمده قبلی یکسان میگردد و
برایq>2k_(F ) اثرات حایل سازی سریعا کاهش پیدا میکند.
2-6 ترازهای مقید
ساده ترین ترازهای مقید در نیمه رسانا آنهایی میباشند که به ناخالصی کولمبی واقع در یک محیط با ثابت دی الکتریک κ_sc و جرم موٌثر همسانگرد m قرار دارد وابسته هستند.
برای مثال، برای یک نوار انرژی سهمی شکل، ترازها بصورت طیف هیدروژنی میباشد ] 8[.
(2-19) E_n=-(me^4)/(2κ_sc ℏ^2 n^2 ) , n=1,2,…
اگر یک ناخالصی با بار الکتریکی e در سطح یک نیمه رسانا و یا مرز بین نیمه رسانا و عایق قرار داده شود، پتانسیل کولمبی الکترون بصورت زیر میباشد
( 2-20) v=-e^2/κ ̅R
در صورتیکه ارتفاع سد پتانسیل بسیار بزرگ در نظر گرفته شود بطوریکه الکترون از عایق دور نگه داشته شود، بنابراین در تقریب مرتبهی اول میتوان فرض کرد که تابع موج روی مرز صفر شود.
حال اگر از پتانسیل تصویری و از خمیدگی نوار انرژی در نزدیکی مرز صرفنظر گردد، طیف انرژی مجددا بصورت طیف هیدروژنی خواهد شد
(2-21) E_n=-(me^4)/(2κ_sc ℏ^2 n^2 ) ≡ (R_y ) ̅/n^2 , n=2,3,…
در صورتیکه میدان الکتریکی سطحی اعمال شود زیر نوار انرژی ایجاد خواهد شد، و در صورتیکه تنها پایینترین زیر نوارهای انرژی نقش اصلی را داشته باشند میتوان مساله را بصورت 2 بعدی بررسی نمود.
دراین صورت مراکز کولمبی در صفحهی z=0 واقع خواهند شد و طیف انرژی بصورت زیر در خواهد آمد ]8[.
(2-22) E_n=-(me^4)/(2K ̅ℏ^2 (n-1/2 )^2 ) و n=1و2…
بررسی رفتار واقعیتر از ترازهای مقید در حضور فصل مشترک و میدان الکتریکی توسط مارتین و والیس در سال 1976 انجام شده است ]8[. آنها با استفاده از روش وردشی، انرژی بستگی وابسته به یک تک زیر نوار در لایه معکوس si-sio_2 را بهصورت تابعی از میدان الکتریکی محاسبه نمودهاند. شکل (2-4) تغییرات انرژی بستگی بر حسب فاصلهی ناخالصی از مرز را که توسط لیپاری در سال 1978 با روش بسط تابع موج بر حسب هماهنگ کروی بدست آمده را نشان میدهد.
شکل2-4: انرژی بستگی از الکترونهای تراز سیلیسیوم با بار الکتریکی مثبت e که با فاصلهی d از صفحهی si-sio_2 قرار دارد انرژی بر حسب واحد ریدبرگ(Ry) ̅^*~43mevو فاصله بر واحد شعاع بوهر(a^* ) ̅~2.2nmرسم شده است.
2-7 ساختار درون نواری
در این بخش روشهای مورد استفاده جهت محاسبهی انرژی و توابع موج الکترونها در لایههای معکوس نیمهرساناها بحث میشود. برای تشریح الکترونها در حضور پتانسیل تک الکترونی خود سازگار و وجود فصل مشترک عایق-نیمهرسانا، سادهترین راه، تقریب هارتری میباشد. الکترونها در نزدیکی فصل مشترک عایق-نیمهرسانا در یک پتانسیل بغرنج (پیچیده) حرکت میکنند. یک طرف فصل مشترک الکترونها پتانسیل دورهای نیمهرسانا را میبینند. این پتانسیل دورهای ناشی از برهمنهی: میدان الکتریکی با تغییرات آهسته ناشی از اعمال ولتاژ خارجی، تفاوت تابع کار (gate)4 و( substrat) 5 و همچنین هر گونه بار ثابت موجود در محیط میباشد. طرف دیگر فصل مشترک الکترونها پتانسیل عایق را میبینند. این پتانسیل معمولاً بیشکل است. معمولاً یک پتانسیل بسیار بزرگ نیز سبب میگردد تا الکترونها دور از عایق نگه داشته شوند. در یک بررسی دقیق و کامل میبایست کلیهی عوامل تأثیر گذار در نظر گرفته شوند. در تقریب هارتری میتوان فرض کرد که هر الکترون در پتانسیل متوسط ایجاد شده توسط تمام الکترونها حرکت میکند و از اندرکنشهای بس ذرهای صرفنظر کرده از تقریب جرم مؤثر استفاده شده و همچنین فرض میشود که پتانسیلی که الکترونها را از عایق دور نگه میدارد بسیار بزرگ بوده و در نتیجه تابع موج در فصل مشترک عایق-نیمه رسانا (z=0) حذف میگردد. نوار انرژی را سهمی در نظر گرفته و فرض میشود که الکترونها در حداقل نوار رسانش قرار دارند.
عملگر انرژی جنبشی برای این سیستم به صورت زیر نوشته میشود:
(2-23) T ̂=-ℏ/2 ∑_(i,j)▒〖w_ij ∂^2/(∂x_i ∂x_j )〗
در رابطهی فوق w_ij ها عناصر تانسور جرم مؤثر وارون میباشند. از آنجایی که انرژی پتانسیل فقط تابع z میباشد، تابع موج را میتوان بهصورت حاصلضرب تابع بلاخ و تابعی که فقط به z وابسته است و همچنین یک تابع موج تخت که بیانگر حرکت آزاد در صفحهی xy است، نوشت]8[.
(2-24)
ψ(x,y,z)=ξ_i (z) e^(ik_1 x+ik_2 y) e^(-i[w_13/w_33 k_1+w_23/w_33 k_2 ]z) u_α (R)
در رابطهی فوق (u_α (R تابع بلاخ میباشد. با جایگذاری تابع موج فوق در معادله شرودینگر و جدا سازی متغییرها خواهید دید که تابعξ_i (z) در معادلهی زیر صدق میکند.
(2-25) ℏ^2/(2m_z ) (∂^2 ξ_i)/(∂z^2 )+[E_i-V(z)] ξ_i (z)=0
در رابطهی فوق m_z=w_3,3^(-1) است. شرایط مرزی ایجاب میکند کهξ_iها در Z=0 و در Z→∞ صفر شود. همچنین میتوان از شرط بهنجارش استفاده نمود و ترازهای انرژی را بهدست آورد.
(2-26) ∫_0^∞▒〖〖ξ_i〗^2 (z)dz=1〗

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

(2-27) E(k_1, k_2 )=E_i+ℏ^2/2 [[w_11-(w_13^2)/w_33 ] k_1^2+2[w_12-(w_13 w_23)/w_33 ] k_1 k_2+[w_32-(w_23^2)/w_33 ] k_2^2 ]
در رابطهی فوق iبیانگر شمارهی زیر نوار (subband)6 میباشد. انرژی پتانسیل V(z) که در معادلهی شرودینگر (2-25) ظاهر شده است را میتوان به صورت زیر بیان نمود.
(2-28) V(z)=V_d (z)+V_s (z)+V_I (z)
در رابطهی فوق
V_d (z) بیانگر انرژی پتانسیل ناشی از بارهای ثابت فضایی
V_s (z) بیانگر انرژی پتانسیل ناشی از بارهای القا شده در لایه

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید